阿罗不可能定理
什么是政治经济学？
我们先简单说明一下市场和政府的关系。
根据《经济学原理（曼昆）》的定义，市场是由某种物品或服务的买者与卖者组成的一个群体。我们不妨假设马尔斯和他的员工们就是一个市场：马尔斯是土豆卖家，他的员工们是土豆买家。大家公平交易，非常美好。
但是，市场偶尔会出现不尽人意的地方。比如说员工里面有个叫火星的小姐姐，饭量奇大无比，但又没什么钱，买不到足够的土豆来吃。另一方面，马尔斯的土豆很畅销，所以他拒绝降价，导致火星天天吃不饱，面黄肌瘦……
所以在市场分配结果无效率，或者不平等时，可能就需要政府介入，从而改善这种情况。而政治经济学的任务，便是用经济学的分析方法研究政府，帮助政府发挥更合理的作用。
我们这次的投票问题，本质上就隶属于政治经济学。
生、炸、煮的投票悖论
按个人喜好给生吃、油炸、水煮排序，然后两两比较的这种投票统计制度，原型叫做孔多塞制（Condorcet）。在进行了全部的比较之后，能够击败所有其它选项的选项便是赢家。看起来既简单又高效，美滋滋。
不过这种投票制度有一个bug，就是在某些情况下存在多个赢家，这些赢家势均力敌，难分高下，这些情况被称为孔多塞悖论。最简单的孔多塞悖论就像视频中一样，甲乙丙3个人按照自己的喜好给生吃、油炸、水煮3种烹饪方式排序：
很容易看出，甲乙丙三个人的喜好首尾相连，刚好形成了一个循环。生吃、油炸、水煮这三种烹饪方式也分别在第一志愿、第二志愿、第三志愿中各出现一次，打了个平手。
面对这种难题，马尔斯该怎么办？
他选择了两两比较的方式。首先来看生吃和水煮。根据上面的投票结果，有两个人认为水煮比生吃好，所以生吃被淘汰了。然后再比较水煮和油炸，有两个人都认为油炸比水煮好，所以水煮又被淘汰了，油炸成为了最佳选项。
看上去合情合理，没毛病。但是，如果马尔斯再严谨一些，继续把冠军油炸和最先淘汰的生吃作比较，就会发现有两个人都认为生吃比油炸好，油炸并不是最佳选项。
所以说，由于三个食客的喜好刚好形成了一个闭合的循环，没有任何一个选项能彻底击败其它两个选项，这就是孔多塞悖论。
从孔多塞悖论中我们可以得到两个重要结论：
狭义的结论是，当候选项大于2时，投票议程的顺序会对民主选举结果有重大影响；
广义的结论是，这种多数投票有时候并没有告诉我们社会真正想要什么结果。
给选项打分行不行？
在发现上面这个悖论之后，马尔斯提出了一种改良方法——波达计数法（Borda Count）。
这种方法也并不复杂，第一步和孔多塞一样，投票人按个人喜好给候选者排序。然后如果候选者排在第一位，它就得某个较大的分数；排第二位的得到一个较小的分数……以此类推。在统计完所有投票之后，分数最高的候选者获胜。
这种投票方式看起来好像更科学了，但实际上它并没有解决孔多塞悖论，反而带来了一个新的问题：分数的设定会影响统计结果。
如果把第一志愿计作2分，第二志愿计作1分，第三志愿计作0分，那么结果就是油炸11分，生吃18分，水煮19分，最终水煮获胜。
但是，如果把第一志愿计作1分，第二志愿计作0.5分，第三志愿计作0.3分，最后就变成了油炸7分，水煮10.7分，生吃11.1分，最终生吃获胜。
可见，分数设定的不同，会直接影响到投票统计的最终结果。
当然了，波达计数法的优点也很明显，那就是它可以充分考虑选民的喜好。换句话说，波达计数法的获胜者未必是最多人放在第一位的，这种方法不容易选出偏激或极具争议性的结果。这次我们新加了一个红烧的选项，100个选民给出了如下结果：
我们把第一志愿计作3分，第二志愿计作2分，第三志愿计作1分，第四志愿计作0分，最终得分如下：
油炸：91 水煮：151 生吃：153 红烧 ：205
从结果来看，红烧得分最高，生吃得分跟红烧差了不少，所以红烧是最符合民意的烹饪方式。
但是，如果我们按照之前两两比较的原则来看生吃和红烧，会发现有51个人认为生吃优于红烧（第1列），有49个人认为红烧优于生吃（第2、3、4列加在一起），所以为了照顾大多数人的意愿，理应是生吃获胜。
从上方的表格来看，生吃更像是一种比较偏激的选项，因为它要么出现在第一志愿中（特别喜欢），要么出现在第四志愿中（特别不喜欢），没有一个人把它放在二、三志愿的位置。而红烧看起来更像是一个理性的选择，大部分人都把它列在了第二志愿里，说明红烧的表现很稳定，大部分人是认可红烧的。
我们回顾一下波达计数法的优缺点：
优点在于，波达计数法比原版的孔多塞制多了一个计分体系，这个计分体系能够更完善的统计选民喜好，有效避免偏激选项的获胜；
缺点在于，计分体系是人为设定的。在不同计分体系中，可能会出现不一样的最终获选人。
有没有一种完美的投票制度？
现在我们发现，上面这两种投票统计方式都有些差强人意。那么，有没有一种完美的投票制度，能够充分反映民意呢？
一个完美的投票制度必须拥有以下四点要素：
确定性：如果每个选民都认为选项A优于选项B，那么A就击败了B
也就是说，三位食客每个人都认为生吃比水煮好，那么在最终汇总结果中，生吃就一定击败了水煮。如果水煮最终击败了生吃，那这个投票制度肯定不合理。
传递性：如果选项A击败了B，B又击败了C，那么就一定能够推出A击败了C的结论
孔多塞悖论就没有满足这个条件。即便我们得到了生吃优于油炸，油炸优于水煮的结果，我们也无法推出生吃优于水煮的结论，因为三个候选方案形成了一个死循环。
不相关选择的独立性：选项A和B的对比，不应该受到选项C的影响
波达计数法没有满足这个条件。因为我们是按名次设定分数的。比如说生>炸>煮，如果油炸突然消失了，那么水煮就从第三名荣升为第二名，得分也会产生变化。
没有独裁者：没有人可以完全无视其他人的偏好程度，跟开了挂一样总能获胜
比如说，我们给喜欢生吃的小姐姐一个人10000张票，另外两个人合在一起算半张票，这就算一种独裁……
经济学家 肯尼斯·阿罗
上面这四点都是一个公平合理的投票制度应该具有的特征。但是，经济学家肯尼斯·阿罗（Kenneth Arrow）在1951年利用数学知识证明，没有一种投票制度能同时满足上面四点特征。也就是说，从原理上来讲，不可能存在一种社会选择机制，使群众的个人偏好完美转换为成社会总偏好。
阿罗不可能定理是一个深刻、同时让人不安的数学结论。它并不是说我们应该放弃民主，而是说无论我们采用哪种投票方式汇总群众意见，都是有缺陷的。